Productos notables y su representación geométrica
El cuadrado de un binomio, la suma por su diferencia, los binomios con término común y el cubo de un binomio, explicados con áreas y volúmenes.
Por Magomáticas · 16 de octubre de 2026
Los productos notables son multiplicaciones de expresiones algebraicas que aparecen tan seguido que conviene saber su resultado de memoria. Pero no hay que memorizarlas a ciegas: cada una se puede ver como el área de un cuadrado o de un rectángulo. Si entiendes el dibujo, la fórmula sale sola.
Cuadrado de un binomio: (a + b)²
Elevar al cuadrado es multiplicar por sí mismo, así que (a + b)² = (a + b)(a + b). Piensa en un cuadrado cuyo lado mide a + b. Si cortas cada lado en un tramo a y un tramo b, el cuadrado grande queda partido en cuatro piezas:
- un cuadrado de lado a, de área a²;
- un cuadrado de lado b, de área b²;
- dos rectángulos iguales de lados a y b, cada uno de área ab.
Sumando las áreas de las piezas:
Ejemplo. Desarrolla (x + 3)².
Aquí a = x y b = 3. El cuadrado del primero es x², el doble del producto es 2 · x · 3 = 6x y el cuadrado del segundo es 3² = 9. Entonces (x + 3)² = x² + 6x + 9.
Error común: escribir (a + b)² = a² + b².
El dibujo muestra por qué está mal: a² + b² son solo los dos cuadrados, y faltan los dos rectángulos. Pruébalo con números: (2 + 3)² = 25, pero 2² + 3² = 13. La diferencia, 12, es justamente 2 · 2 · 3.
Cuadrado de una diferencia: (a − b)²
Ahora el cuadrado grande mide a por lado y nos interesa el cuadrado más chico de lado a − b, en una esquina. Para llegar a él, al área a² le quitamos dos franjas de ancho b. Cada franja mide a por b, pero las dos se superponen en la esquina b²: esa esquina se quitó dos veces, así que hay que devolverla una vez.
Ejemplo. (2x − 5)² = (2x)² − 2 · 2x · 5 + 5² = 4x² − 20x + 25.
Fíjate en que el primer término es 2x completo: su cuadrado es 4x², no 2x².
Suma por diferencia: (a + b)(a − b)
Parte de un cuadrado de lado a y recórtale una esquina cuadrada de lado b. Queda una figura con forma de L, de área a² − b². Esa L se puede cortar en dos rectángulos, y si giras el de arriba y lo pegas al lado del otro, se forma un rectángulo de base a + b y altura a − b.
Como el área no cambia al mover las piezas:
Ejemplo para calcular mentalmente. 21 · 19 = (20 + 1)(20 − 1) = 20² − 1² = 400 − 1 = 399.
Leída al revés, esta fórmula sirve para factorizar: x² − 49 = (x + 7)(x − 7). A esto se le llama diferencia de cuadrados.
Binomios con término común: (x + a)(x + b)
Es un rectángulo de lados x + a y x + b. Se parte en un cuadrado x², dos rectángulos que comparten el lado x (de áreas ax y bx) y un rectángulo chico de área ab.
Los dos rectángulos del medio se juntan porque los dos tienen x:
Ejemplo. (x + 3)(x − 5) = x² + (3 − 5)x + 3 · (−5) = x² − 2x − 15.
Ojo con los signos: aquí b = −5, así que la suma es −2 y el producto es −15.
Cubo de un binomio: (a + b)³
Lo mismo funciona con volúmenes. Un cubo de arista a + b, cortado en a y en b en cada dirección, queda partido en ocho bloques de cuatro tipos: un cubo a³, tres bloques a²b, tres bloques ab² y un cubo b³.
Para la diferencia solo cambian los signos, que se alternan: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Resumen
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Si una fórmula se te olvida, dibuja el cuadrado o el rectángulo: cada pieza es un término. Para docentes, todas estas figuras se pueden armar con otros valores en el Generador de figuras (Álgebra → Productos notables).
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